【題目】已知：如圖，△MNQ中，MQ≠NQ．
（1）請你以MN為一邊，在MN的同側構造一個與△MNQ全等的三角形，畫出圖形，并簡要說明構造的方法；
（2）參考（1）中構造全等三角形的方法解決下面問題：
如圖，在四邊形ABCD中，
，∠B=∠D．求證：CD=AB．
【答案】（1）作圖見解析；（2）證明書見解析.
【解析】
試題（1）以點N為圓心，以MQ長度為半徑畫弧，以點M為圓心，以NQ長度為半徑畫弧，兩弧交于一點F，則△MNF為所畫三角形．
（2）延長DA至E，使得AE=CB，連結CE．證明△EAC≌△BCA，得：∠B =∠E，AB=CE，根據等量代換可以求得答案．
試題解析：（1）如圖1，以N 為圓心，以MQ 為半徑畫圓弧；以M 為圓心，以NQ 為半徑畫圓弧；兩圓弧的交點即為所求．
（2）如圖，延長DA至E，使得AE=CB，連結CE．
∵∠ACB +∠CAD =180°，∠DACDAC +∠EAC =180°，∴∠BACBCA =∠EAC.
在△EAC和△BAC中，AE＝CE，AC＝CA，∠EAC＝∠BCN，
∴△AECEAC≌△BCA （SAS）.∴∠B=∠E，AB=CE.
∵∠B=∠D，∴∠D=∠E.∴CD=CE，∴CD=AB．
能力評價系列答案
唐印文化課時測評系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，AD是圓O的切線，切點為A，AB是圓O的弦。過點B作BC//AD，交圓O于點C，連接AC，過點C作CD//AB，交AD于點D。連接AO并延長交BC于點M，交過點C的直線于點P，且BCP=ACD。
（1）判斷直線PC與圓O的位置關系，并說明理由：
（2） 若AB=9，BC=6，求PC的長。
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，點D是射線CB上的一個動點，△ADE是等邊三角形，點F是AB的中點，連接EF．
（1）如圖，點D在線段CB上時，
①求證：△AEF≌△ADC；
②連接BE，設線段CD=x，BE=y，求y2﹣x2的值；
（2）當∠DAB=15°時，求△ADE的面積．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】在□ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在CD上，CF=AE，連接BF，AF．
（1）求證：四邊形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求tan∠BAF的值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，⊙O中，AB是⊙O的直徑，G為弦AE的中點，連接OG并延長交⊙O于點D，連接BD交AE于點F，延長AE至點C，使得FC=BC，連接BC．
(1)求證：BC是⊙O的切線；
(2)⊙O的半徑為5，tanA=
，求FD的長．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】（定義）如圖1，A，B為直線l同側的兩點，過點A作直線1的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P，連接AP，則稱點P為點A，B關于直線l的“等角點”．
（運用）如圖2，在平面直坐標系xOy中，已知A（2，
），B（﹣2，﹣）兩點．
（1）C（4，
），D（4，
），E（4，
）三點中，點 是點A，B關于直線x=4的等角點；
（2）若直線l垂直于x軸，點P（m，n）是點A，B關于直線l的等角點，其中m＞2，∠APB=α，求證：tan
=
；
（3）若點P是點A，B關于直線y=ax+b（a≠0）的等角點，且點P位于直線AB的右下方，當∠APB=60°時，求b的取值范圍（直接寫出結果）．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，點A在第一象限，點A，B關于y軸對稱．
（1）若A（1，3），寫出點B的坐標并在直角坐標系中標出．
（2）若A（a，b），且△AOB的面積為a2，求點B的坐標（用含a的代數式表示）．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】在南開中學校慶78周年之際，由學生處和美術教研組共同策劃、組織了“南開中學校園明信片設計大賽”。獲得此次設計大賽組織一等獎的
、
、
、
四個班級一共有75件作品獲獎，已知班參賽作品的獲獎率為30%，班參賽作品的獲獎率為40%。請結合兩幅統計圖所提供的信息，解決下列問題：
（1）四個班級一共選送了多少件作品參賽，獲獎率最高的班級是哪個班；
（2）請將條形統計圖補充完整；
（3）班的小欣和小怡同學在本次大賽中榮獲個人一等獎，此外、兩班各有一名同學榮獲個人一等獎。南開中學校友會準備從這4名同學的作品中任選兩件，制作成新年賀卡送給老校友。請用列表法或畫樹狀圖的方法求出這兩件作品分別來自不同班級，且其中一件是小欣或小怡作品的概率.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】定義：若兩個分式的和為
（為正整數），則稱這兩個分式互為“階分式”，例如分式
與
互為“3階分式”.
（1）分式
與 互為“5階分式”；
（2）設正數
互為倒數，求證：分式
與
互為“2階分式”；
（3）若分式
與
互為“1階分式”（其中
為正數），求
的值.
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