Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB與x軸交于點A，與y軸交于點B，且OA＝3，AB＝5．點P從點O出發沿OA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AO返回；點Q從點A出發沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB－BO－OP于點E．點P、Q同時出發，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒(t＞0)．

(1)求直線AB的解析式；

(2)在點P從O向A運動的過程中，求△APQ的面積S與t之間的函數關系式(不必寫出t的取值范圍)；

(3)在點E從B向O運動的過程中，完成下面問題：

①四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由；

②當DE經過點O時，請你直接寫出t的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在Rt△AOB中，OA＝3，AB＝5，由勾股定理得． 　　∴A(3，0)，B(0，4)． 　　設直線AB的解析式為． 　　∴解得 　　∴直線AB的解析式為．　2分 　　(2)如圖，過點Q作QF⊥AO于點F． 　　∵AQ＝OP＝t，∴． 　　由△AQF∽△ABO，得． 　　∴．∴．　2分 　　∴， 　　∴．　4分 　　(3)四邊形QBED能成為直角梯形． 　　①如圖，當DE∥QB時， 　　∵DE⊥PQ， 　　PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形． 　　此時∠AQP＝90°． 　　由△APQ∽△ABO，得． 　　∴． 　　解得．　6分 　　②如圖，當PQ∥BO時， 　　∵DE⊥PQ， 　　∴DE⊥BO，四邊形QBED是直角梯形． 　　此時∠APQ＝90°． 　　由△AQP∽△ABO，得 　　即． 　　解得．　10分 　　(4)或．　14分