Question

已知：如圖，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠O）經(jīng)過(guò)X軸上的兩點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）和y軸上的點(diǎn)C（0，-

3

2

），⊙P的圓心P在y軸上，且經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，若b=

3

a，AB=2

3

，
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)D在拋物線(xiàn)上，且C，D兩點(diǎn)關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，問(wèn)直線(xiàn)BD是否經(jīng)過(guò)圓心P，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)直線(xiàn)BD交⊙P于另一點(diǎn)E，求經(jīng)過(guò)E點(diǎn)的⊙P的切線(xiàn)的解析式．

Answer 1

（1）∵軸上的點(diǎn)C（0，-

3

2

），
∴c=-

3

2

，
又∵b=

3

a，AB=2

3

，令ax²+

3

ax-

3

2

=0，|x₁-x₂|=2

3

，
解得：a=

2

3

，b=

2 3

3

；
∴拋物線(xiàn)的解析式是：y=

2

3

x2+

2

3

3

x-

3

2

．（4分）

（2）D（-

3

，-

3

2

），
直線(xiàn)BD為：y=

3

3

x-

1

2

，
連接BP，設(shè)⊙P的半徑為R，
R2=(

3

2

)2+(

3

2

-R)2，R=1，P（0，-

1

2

），（7分）
點(diǎn)P的坐標(biāo)滿(mǎn)足直線(xiàn)BD的解析式y(tǒng)=

3

3

x-

1

2

．
∴直線(xiàn)BD經(jīng)過(guò)圓心P．（8分）

（3）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸于F，得△OPB≌△FPE，
E（-

3

2

，-1），（9分）
設(shè)經(jīng)過(guò)E點(diǎn)⊙P的切線(xiàn)L交y軸于點(diǎn)Q．
則∠PEQ=90°，EF⊥PQ，
∴PE²=PF•PQ，
∴PQ=2，Q（0，-2.5），（11分）
∴切線(xiàn)L為：y=-

3

x-2.5．（12分）