Question

拋物線y=ax²+bx+c，a＞0，c＜0，2a+3b+6c=0．
（1）求證：；
（2）拋物線經過點，Q（1，n）．
①判斷mn的符號；
②若拋物線與x軸的兩個交點分別為點A（x₁，0），點B（x₂，0）（點A在點B左側），請說明，．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為2a+3b+6c=0，所以2a+3b=-6c，再把+通分，利用條件a＞0，c＜0，問題可得證；
（2）①把P，Q兩點的坐標分別代入，可得到關于m，n的關系式，再有條件a＞0，c＜0，2a+3b+6c=0，可判斷mn的符號；
②因為a＞0，知拋物線y=ax²+bx+c開口向上．又因為拋物線與x軸的兩個交點分別為點A（x₁，0），點B（x₂，0）（點A在點B左側），所以把拋物線y=ax²+bx+c的示意圖畫出，利用拋物線的對稱性可證得問題的正確性．
解答：（1）證明：∵2a+3b+6c=0，
∴．
∵a＞0，c＜0，
∴，．
∴．

（2）解：∵拋物線經過點P，點Q（1，n），
∴
①∵2a+3b+6c=0，a＞0，c＜0，
∴，．
∴＜0.＞0．
∴mn＜0．
②由a＞0知拋物線y=ax²+bx+c開口向上．
∵m＜0，n＞0，
∴點P和點Q（1，n）分別位于x軸下方和x軸上方．
∵點A，B的坐標分別為A（x₁，0），B（x₂，0）（點A在點B左側），
∴由拋物線y=ax²+bx+c的示意圖可知，
對稱軸右側的點B的橫坐標x₂滿足．（如圖所示）
∵拋物線的對稱軸為直線，
由拋物線的對稱性可，由（1）知，
∴．即x₁+x₂＜，
∴=，即．
點評：本題主要考二次函數系數和與x軸的交點問題，把拋物線與坐標軸的交點問題轉化為與二元一次方程有關的問題是解答此題的關鍵，重點是從圖象中找出重要信息．