Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知拋物線經過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），拋物線對稱軸l與x軸相交于點M．
（1）求拋物線的解析式和對稱軸；
（2）點P在拋物線上，且以A、O、M、P為頂點的四邊形四條邊的長度為四個連續的正整數，請你直接寫出點P的坐標；
（3）連接AC．探索：在直線AC下方的拋物線上是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請你求出點N的坐標；若不存在，請你說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線經過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用兩點式法設拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-5），代入A（0，4）即可求得函數的解析式，則可求得拋物線的對稱軸；
（2）由已知，可求得P（6，4），由題意可知以A、O、M、P為頂點的四邊形有兩條邊AO=4、OM=3，又知點P的坐標中x＞5，所以MP＞2，AP＞2；因此以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意，所以四條邊的長只能是3、4、5、6的一種情況，則分析求解即可求得答案；
（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．設N點的橫坐標為t，此時點N（t，t²-t+4）（0＜t＜5），再求得直線AC的解析式，即可求得NG的長與△ACN的面積，由二次函數最大值的問題即可求得答案．
解答：解：（1）根據已知條件可設拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-5），
把點A（0，4）代入上式得：a=，
∴y=（x-1）（x-5）=x²-x+4=（x-3）²-，
∴拋物線的對稱軸是：x=3；

（2）P點坐標為：（6，4），
由題意可知以A、O、M、P為頂點的四邊形有兩條邊AO=4、OM=3，
又∵點P的坐標中x＞5，
∴MP＞2，AP＞2；
∴以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意，
∴四條邊的長只能是3、4、5、6的一種情況，
在Rt△AOM中，AM===5，
∵拋物線對稱軸過點M，
∴在拋物線x＞5的圖象上有關于點A的對稱點與M的距離為5，
即PM=5，此時點P橫坐標為6，即AP=6；
故以A、O、M、P為頂點的四邊形的四條邊長度分別是四個連續的正整數3、4、5、6成立，
即P（6，4）；

（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．
設N點的橫坐標為t，此時點N（t，t²-t+4）（0＜t＜5），
過點N作NG∥y軸交AC于G；作AM⊥NG于M，
由點A（0，4）和點C（5，0）可求出直線AC的解析式為：y=-x+4；
把x=t代入得：y=-t+4，則G（t，-t+4），
此時：NG=-x+4-（t²-t+4）=-t²+4t，
∵AM+CF=CO，
∴S_△ACN=S_△ANG+S_△CGN=AM×NG+NG×CF=NG•OC=（-t²+4t）×5=-2t²+10t=-2（t-）²+，
∴當t=時，△CAN面積的最大值為，
由t=，得：y=t²-t+4=-3，
∴N（，-3）．
點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，勾股定理以及三角形面積的最大值問題．此題綜合性很強，難度很大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．