Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BD交⊙O于點C，AE平分∠BAC，EF⊥AB，垂足為F，∠D=∠CAB．
（1）求證：AD為⊙O的切線；
（2）若，AD=6，求CE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證AD是⊙O的切線，只要證明∠DAB=90°即可．
（2）根據三角函數的知識經過轉換即可得出．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠D=∠CAB，∠B=∠B，
∴∠DAB=90°，
∴AD為⊙O的切線．

（2）解：∵，AD=6，
∴AB=8，DB=10，
∵AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAC，EF⊥AB，
∴CE=FE，EF∥DA
∴∠FEB=∠D，
∵∠D=∠CAB，
∴sin∠FEB=sin∠CAB=
∴BC=sin∠CAB×AB=×8=6.4，cos∠FEB=，
∴EF：EB=3：5，
∴CE：BE=3：5，
∴，
∴CE=BC×=6.4×=2.4．
點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了三角函數的知識．