Question

【題目】如圖，半圓O的直徑為AB，D是半圓上的一個動點（不與點A，B重合），連接BD并延長至點C，使CD=BD，過點D作半圓O的切線交AC于點E．

（1）請猜想DE與AC的位置關系，并說明理由；

（2）當AB=6，BD=2時，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）猜想：DE⊥AC，證明詳見解析；（2）

【解析】

（1）連接，由切線的性質知，；中，分別為、的中點，即是的中位線，因此，由此可得；

（2）連接，由圓周角定理知，即是的垂直平分線，因此是等腰三角形，，易證，可得，可在中，用勾股定理求得的長，進而可根據上面的比例關系求出的長.

（1）猜想：DE⊥AC

理由如下：

如圖，連接OD.

∵DE是⊙O的切線，切點為D．

∴OD⊥DE．

∵BD=CD，OA=OB，

∴OD∥AC．

∴DE⊥AC．

（2）連接AD.

∵AB是半圓O的直徑，

∴∠ADB=90°且BD=DC=2．

∴AD是BC的垂直平分線．

∴AB=AC．

∴∠ABD=∠ACD．

又∵DE⊥AC，

∴∠CED=90°．

∴∠ADB=∠CED．

∴Rt△ABD∽Rt△DCE．

∴DEAB=ADDC．

在Rt△ABD中，AB=6，BD=2，

∴