Question

25、圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：
（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系：

∠A+∠D=∠C+∠B

；
（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數：

3

個；
（3）圖2中，當∠D=50度，∠B=40度時，求∠P的度數．
（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數量關系．說明理由．（直接寫出結果，不必證明）．

Answer 1

分析：（1）根據三角形內角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）根據“8字形”的定義，仔細觀察圖形即可得出“8字形”共有3個；
（3）先根據“8字形”中的角的規律，可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根據角平分線的定義，得出∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，將①+②，可得2∠P=∠D+∠B，進而求出∠P的度數；
（4）同（3），根據“8字形”中的角的規律及角平分線的定義，即可得出2∠P=∠D+∠B．

解答：解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，
∴∠A+∠D=∠C+∠B；                    （2分）
（2）①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；
②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；
③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；
故“8字形”共有3個；                               （4分）
（3）∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②（6分）
∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，（7分）
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，（9分）
即2∠P=∠D+∠B，
又∵∠D=50度，∠B=40度，
∴2∠P=50°+40°，
∴∠P=45°；                       （10分）
（4）關系：2∠P=∠D+∠B．               （12分）

點評：本題主要考查了三角形內角和定理，角平分線的定義及閱讀理解與知識的遷移能力．（1）中根據三角形內角和定理得出“8字形”中的角的規律；（2）是考查學生的觀察理解能力，需從復雜的圖形中辨認出“8字形”；（3）（4）直接運用“8字形”中的角的規律解題．