Question

如圖，AB是半圓O的直徑，∠BAC=30°，BC為半圓的切線，切點為B，且BC=4\sqrt{3}．
（1）求圓心O到AC的距離；
（2）求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先在Rt△ABC中，根據∠BAC的度數以及BC的長，可求出⊙O的直徑；過O作AC的垂線，設垂足為E，在Rt△OAE中，根據⊙O的半徑及∠BAC的度數，即可求得OE．
（2）連接OD，陰影部分的面積即為扇形OAD和△OAD的面積差；扇形圓心角∠AOD的度數易求得，而AD的長，可由AB•sinA得出，由此得解．
解答：解：（1）過O作OE⊥AC于E；
∵BC是圓的切線，
∴∠ABC=90°
∵∠BAC=30°，BC=．
∴AB==12，
∴AO=6；
∵∠ABC=∠OEA，
又∠ABC=∠EAO，
∴sin∠ABC=sin∠EAO=30°，
∴OE=AO=3．

（2）連接OD、BD；
∵∠AOD=2∠AOE=120°，
在Rt△ABD中，AD=AB•cosA=；
∴S_扇形==12π，S_△AOD=AD•OE=××3=；
∴S_陰影=S_扇形-S_△AOD=12π-．
點評：此題主要考查的是切線的性質、圖形面積的求法以及解直角三角形的應用．