Question

（2013•連云港模擬）如圖，菱形ABCD中，AB=AC，點E、F分別為邊AB、BC上的點，且AE=BF，連接CE、AF交于點H，連接DH交AC于點O．
（1）求證：△ABF≌△CAE；
（2）HD平分∠AHC嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）根據菱形的四條邊都相等可得AB=BC，然后求出△ABC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得∠B=∠CAB=60°，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△CAE全等即可；
（2）過點D作DG⊥CH于點G，作DK⊥FA交FA的延長線于點K，根據全等三角形對應角相等可得∠BAF=∠ACE，然后求出∠AHC=120°，再根據四邊形的內角和定理求出∠HAD+∠HCD=180°，根據平角的定義求出∠HAD+∠KAD=180°，從而得到∠HCD=∠KAD，然后利用“角角邊”證明△ADK和△CDG全等，根據全等三角形對應邊相等可得DK=DG，然后利用到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明即可．

解答：（1）證明：∵ABCD為菱形，
∴AB=BC．
∵AB=AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠CAB=60°，
在△ABF和△CAE中，

AE=BF ∠B=∠CAB AB=AC

，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；

（2）答：HD平分∠AHC．
理由如下：過點D作DG⊥CH于點G，作DK⊥FA交FA的延長線于點K，
∵△ABF≌△CAE，
∴∠BAF=∠ACE，
∵∠ACE+∠FCE=60°，
∴∠BAF+∠FCE=60°，
∴∠AHC=∠AFC+∠HCF=∠B+∠BAF+∠BCE=120°，
∵∠ADC=60°，
∴∠HAD+∠HCD=180°，
∵∠HAD+∠KAD=180°，
∴∠HCD=∠KAD，
在△ADK和△CDG中，

∠HCD=∠KAD ∠DGC=∠AKD=90° AD=CD

，
∴△ADK≌△CDG（AAS），
∴DK=DG，
∵DG⊥CH，DK⊥FA，
∴HD平分∠AHC．

點評：本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，綜合性較強，難度較大，（2）作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．