Question

如圖，點A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點O順時針旋轉120°至OB的位置．

（1）求點B的坐標；

（2）求經過點A．O、B的拋物線的解析式；

（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題；分類討論。

解答：解：（1）如圖，過B點作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO=90°，

∵∠AOB=120°，

∴∠BOC=60°，

又∵OA=OB=4，

∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，

∴點B的坐標為（﹣2，﹣2）；

（2）∵拋物線過原點O和點A．B，

∴可設拋物線解析式為y=ax²+bx，

將A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得

，

解得，

∴此拋物線的解析式為y=﹣x²+x

（3）存在，

如圖，拋物線的對稱軸是x=2，直線x=2與x軸的交點為D，設點P的坐標為（2，y），

①若OB=OP，

則2²+|y|²=4²，

解得y=±2，

當y=2時，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，

∴∠POD=60°，

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，

即P、O、B三點在同一直線上，

∴y=2不符合題意，舍去，

∴點P的坐標為（2，﹣2）

②若OB=PB，則4²+|y+2|²=4²，

解得y=﹣2，

故點P的坐標為（2，﹣2），

③若OP=BP，則2²+|y|²=4²+|y+2|²，

解得y=﹣2，

故點P的坐標為（2，﹣2），

綜上所述，符合條件的點P只有一個，其坐標為（2，﹣2），