Question

關x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有兩個實數根x₁、x₂，
（1）求m的取值范圍；
（2）若x₁、x₂滿足等式x₁x₂-x₁-x₂+1=0，求m的值．

Answer 1

分析：（1）方程有實數根，則根的判別式大于或等于0，求出m的取值范圍．
（2）根據根與系數的關系即可求得x₁+x₂=5，x₁•x₂=6-m，代入等式x₁x₂-x₁-x₂+1=0，即可得到關于m的方程，求出m的值．

解答：解：（1）先化簡方程（x-2）（x-3）=m為x²-5x+6-m=0，
∴a=1，b=-5，c=6-m，
∴△=b²-4ac=（-5）²-4×1×（6-m）=1+4m≥0，
∴m≥-

1

4

．
（2）∵x₁+x₂=5，x₁•x₂=6-m，
∴x₁x₂-x₁-x₂+1=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=6-m-5+1=0
∴m=2．

點評：總結：（1）一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
①△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
②△=0?方程有兩個相等的實數根；
③△＜0?方程沒有實數根．
（2）一元二次方程的根與系數的關系為：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．