Question

如圖，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．

（1）請你判斷AD是△ABC的中線還是角平分線？并證明你的結論．

（2）在（1）的條件下，若AB＝6，AC＝4，請確定AD的值范圍．

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）AD是△ABC的中線.

理由如下：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°

又∵BE＝CF，∠BDE＝∠CFD　∴△BDE≌△CFD（AAS）

∴BD＝CD ，即AD是△ABC的中線.

（2）過點B作BG∥AC交AD延長線于點G，

∴∠GBD＝∠ACD，.

又∵AD是中線，∠BDG＝∠ADC，

∴△BDG≌△CDA（ASA），

∴BG＝AC＝4，AD＝GD，

在△ABG中，AB＝6，根據三角形三邊關系，

∴2＜AG＜10，

∴1＜AD＜5.

【解析】（1）證得三角形全等可得對應邊BD＝CD，即可知AD是△ABC的中線；

       （2）三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。