Question

如下圖，已知BE、CD分別是△ABC的角平分線，并且AE⊥BE于E點(diǎn)，AD⊥DC于D點(diǎn)．
求證：（1）DE∥BC；（2）DE=

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(AB+AC-BC)．

Answer 1

分析：延長(zhǎng)AD、AE分別交BC于F、G；△ABG中，BE是∠ABG的角平分線，且是底邊AG的高，易證得△ABG是等腰三角形，則E是AG中點(diǎn)；同理可知D是AF的中點(diǎn)；那么DE即為△AFG的中位線，由此證得DE∥BC，DE=

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FG；而FG=BG+CF-BC=AB+AC-BC，由此可證得（2）的結(jié)論．

解答：證明：（1）延長(zhǎng)AD、AE，交BC于F、G；
∵BE⊥AG，
∴∠AEB=∠BEG=90°；
∵BE平分∠ABG，
∴∠ABE=∠GBE；
∴∠BAE=∠BGE；
∴△ABG是等腰三角形；
∴AB=BG，E是AG中點(diǎn)；
同理可得：AC=CF，D是AF中點(diǎn)；
∴DE是△AFG的中位線；
∴DE∥BC．

（2）由（1）知DE是△AFG的中位線，
∴DE=

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FG；
∵FG=BG+CF-BC，且AB=BG，AC=CF；
∴FG=AB+AC-BC，即DE=

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（AB+AC-BC）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理的應(yīng)用；能夠正確的構(gòu)建出△ABG、△ACF兩個(gè)等腰三角形是解答此題的關(guān)鍵．