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如圖,四邊形ABCD是正方形,點N是CD的中點,M是AD邊上不同于點A、D的點,若,求證:∠NMB=∠MBC.

【答案】分析:分別延長BC、MN相交于點E,設AM=1,根據,求出BM=,則;所以DM=AD-AM=2,利用Rt△DMN可求得,MN=,根據△MDN≌△ECN(ASA),可求得CE=MD=2、,ME=MN+NE=5、BE=BC+CE=5,所以ME=BE即∠NMB=∠MBC.
解答:證明:證法一:如圖,
分別延長BC、MN相交于點E,
設AM=1,

,
,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴DM=AD-AM=2,且
在Rt△DMN中,,
又∵∠MDN=∠ECN=90°,∠MND=∠ENC,
∴△MDN≌△ECN(ASA),
∴CE=MD=2,,
∴ME=MN+NE=5,BE=BC+CE=5,
∴ME=BE,
∴∠NMB=∠MBC;

證法二:設AM=1,同證法一;
如圖,
將△ABM繞點A順時針旋轉90°得到△BCE,連接ME,
∵∠BCE=∠BCD=90°,
∴∠NCE是平角,即點N、C、E三點共線,
∴∠BMA=∠BECCE=AM=1、BE=BM,
∴∠BME=∠BEM,

∴∠NME=∠NEM,
∴∠BME+∠NME=∠BEM+∠NEM,
∴∠BMN=∠BEC=∠AMB,
又∵∠AMB=∠MBC,
∴∠BMN=∠MBC.
點評:主要考查了正方形的性質和利用等腰三角形的性質來求證等角的方法.要掌握正方形中一些特殊的性質:四邊相等,四角相等,對角線相等且互相平分.分別求出BE,ME的長度是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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如圖,四邊形ABCD的對角線AC與BD互相垂直平分于點O,設AC=2a,BD=2b,請推導這個四邊形的性質.(至少3條)
(提示:平面圖形的性質通常從它的邊、內角、對角線、周長、面積等入手.)

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如圖,四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點P,過點P作直線交AD于點E,交BC于點F.若PE=PF,且AP+AE=CP+CF.
(1)求證:PA=PC.
(2)若BD=12,AB=15,∠DBA=45°,求四邊形ABCD的面積.

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精英家教網如圖,四邊形ABCD,AB=AD=2,BC=3,CD=1,∠A=90°,求∠ADC的度數.

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如圖,四邊形ABCD為正方形,E是BC的延長線上的一點,且AC=CE,求∠DAE的度數.

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如圖,四邊形ABCD是正方形,點E是BC的中點,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分線CF于F.

(I)求證:AE=EF;
(Ⅱ)若將條件中的“點E是BC的中點”改為“E是BC上任意一點”,其余條件不變,則結論AE=EF還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

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同步練習冊答案
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