Question

如圖，直線y=-x與雙曲線y=

2

x

（只在第一象限內的部分）在同一直角坐標系內．
①直線y=-x至少向上平移

 

個單位才能與雙曲線y=

2

x

有交點；
②現有一個半徑為1且圓心P在雙曲線y=

2

x

上的一個動圓⊙P，⊙P在運動過程中圓上的點與直線y=-x的最近距離為

 

．

Answer 1

分析：①設一次函數的解析式為y=-x+b，與反比例函數解析式組成方程組，消去y，讓所得方程的根的判別式為非負數即可求得k的最小值，也就求得了至少平移的距離；
②找到反比例函數上的點到直線y=-x的最小距離，減去圓的半徑即可．

解答：解：①設一次函數的解析式為y=-x+b，
兩個函數有交點，則

y=-x+b y= 2 x

，
∴-x+b=

2

x

；
-x²+bx-2=0，
兩個函數有交點，則b²-8≥0，
解得b≥2

2

，
∴直線y=-x至少向上平移2

2

個單位才能與雙曲線y=

2

x

有交點；

②由①得向上移動2

2

單位后與反比例函數圖象有一個交點．那么y=-x+2

2

與y=-x相距2

2

個單位，由于⊙P的半徑為1，所以⊙P在運動過程中圓上的點與直線y=-x的最近距離為1．

點評：解決本題的關鍵是理解兩個函數解析式有交點，即兩個函數組合成的一元二次方程的根的判別式為非負數．