Question

【題目】銳角為45°的直角三角形的兩直角邊長也相等，這樣的三角形稱為等腰直角三角形．我們常用的三角板中有一塊就是這樣的三角形，也可稱它為等腰直角三角板．把兩塊全等的等腰直角三角板按如圖1放置，其中邊BC、FP均在直線l上，邊EF與邊AC重合．

（1）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q，連接AP，BQ．猜想并寫出BQ與AP所滿足的數量關系和位置關系，請證明你的猜想；

（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連接AP，BQ．你認為（1）中所猜想的BQ與AP的數量關系和位置關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）延長BQ交AP于點M，根據等腰直角三角板的每一個銳角都是45°可得∠EPF=45°，然后求出∠CQP=45°，根據等角對等邊的性質求出CQ=CP，然后利用邊角邊定理證明△BCQ與△ACP全等，再根據全等三角形對應邊相等，即可證明BQ=AP，對應角相等可得∠CBQ=∠CAP，又∠CBQ+∠BQC=90°，所以∠CAP+∠AQM=90°，從而得到BQ⊥AP；

（2）延長QB交AP于點M，根據等腰直角三角板的每一個銳角都是45°可得∠EPF=45°，根據對頂角相等得到∠CPQ=45°，然后求出∠CQP=45°，根據等角對等邊的性質求出CQ=CP，然后利用邊角邊定理證明△BCQ與△ACP全等，再根據全等三角形對應邊相等，即可證明BQ=AP，對應角相等可得∠BQC=∠APC，又∠CBQ+∠BQC=90°，所以∠PBM+∠APC=90°，從而得到BQ⊥AP．

試題解析：（1）BQ=AP，BQ⊥AP．

證明：延長BQ交AP于點M，

∵△ABC和△EFP都是等腰直角三角板，

∴BC=AC，AC⊥BC，∠EPF=45°，

∴∠BCQ=∠ACP=90°，∠CQP=∠EPF=45°，

∴CQ=CP，

在△BCQ和△ACP中，

，

∴△BCQ≌△ACP（SAS），

∴BQ=AP，∠CBQ=∠CAP，

∵∠BCQ=90°，

∴∠CBQ+∠BQC=90°，

∵∠BQC=∠AQM（對頂角相等），

∴∠CAP+∠AQM=90°，

∴∠AMB=90°，

∴BQ⊥AP；

（2）關系仍然成立：BQ=AP，BQ⊥AP．

證明：延長QB交AP于點M，

∵△ABC和△EFP都是等腰直角三角板，

∴BC=AC，AC⊥BC，∠EPF=45°，

∴∠BCQ=∠ACP=90°，

∵∠CQP=∠EPF=45°，

∴∠CPQ=∠CQP=45°，

∴CQ=CP，

在△BCQ和△ACP中，

，

∴△BCQ≌△ACP（SAS），

∴BQ=AP，∠BQC=∠APC，

∵∠BCQ=90°，

∴∠CBQ+∠BQC=90°，

∵∠PBM=∠QBC（對頂角相等），

∴∠PBM+∠APC=90°．