Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+6分別交x軸、y軸于A、B兩點，拋物線y=﹣x2+8，與y軸交于點D，點P是拋物線在第一象限部分上的一動點，過點P作PC⊥x軸于點C．

（1）點A的坐標為 ，點D的坐標為 ；

（2）探究發現：

①假設P與點D重合，則PB+PC= ；（直接填寫答案）

②試判斷：對于任意一點P，PB+PC的值是否為定值？并說明理由；

（3）試判斷△PAB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值，并求出此時點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（4，0），（0，8）；（2）①PB+PC=10；②是，見解析（3）△PAB的面積存在最大值，且最大值為13，此時點P的坐標為（6，）

【解析】

試題分析：（1）根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；

（2）①根據線段的和差，可得PB，可得答案；

②根據勾股定理，可得PB的長，根據線段和差，可得答案；

（3）根據面積的和差，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得最大值，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．

解：（1）y=﹣x+6當y=0時，x=4，即A（4，0），

y=﹣x2+8當x=0時，y=8，即D點坐標（0，8），

故答案為：（4，0），（0，8）；

（2）①PB=PO﹣OB=8﹣6=2，PB+PC=8+2=10；

②是，理由如下：

過點P作PQ⊥y軸于點Q，

∵P在拋物線上，且在第一象限，

∴設P點坐標為（x，﹣x2+8）．

則PQ=x，PC=﹣x2+8．

當4≤x＜8時，PB===x2+2，

∴PB+PC=x2+2+（﹣x2）+8=10，

當0＜x＜4時，同理可得；

（3）存在．

設△PAB的面積為S．

由（2）假設．

當4≤x＜8時，有S=﹣﹣

=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣6）2+13．

當0＜x＜4時，s=﹣（x﹣6）2+13．

當x=6時，S最大=13，y=﹣×36+8=，

∴△PAB的面積存在最大值，且最大值為13，此時點P的坐標為（6，）