Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l₁：y=-x+3與l₂：y=

1

3

x+

1

3

交于點C，分別交x軸交于點A，B．
（1）求點A，B，C的坐標；
（2）求△ABC的面積；
（3）在直線l₁上是否存在點P，使△PBA是等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）A，B是l₁和l₂與x軸的交點坐標，C是這兩個直線的交點坐標．
（2）求出AB的長和C的縱坐標可求出面積．
（3）假設存在，有兩種情況，當AB為直角邊時，當AB為斜邊時，看看能不能求出解．

解答：解：（1）A（3，0），B（-1，0）．（2分）
C（2，1）．（4分）
注：要求學生書寫簡要過程．

（2）S_△ABC=

1

2

×4×1=2．（6分）

（3）存在．
①當AB為直角邊時．
如圖，過點B作P₁B⊥x軸，交l₁于P₁，∠P₁BA=90°．
易得△AP₁B為等腰直角三角形，P₁（-1，4）．（7分）
②當AB為斜邊時．
如圖，過點B作BP₂⊥l₁于P₂，∠BP₂A=90°．
易得△AP₂B為等腰直角三角形，P₂（1，2）．（8分）
綜上，在直線l₁上存在點P₁（-1，4），P₂（1，2），使△PBA是等腰直角三角形．

點評：本題考查一次函數的綜合運用，關鍵是根據函數式能夠求出坐標和能夠根據坐標求面積和判斷三角形的形狀．