Question

【題目】（定義）如圖1，A，B為直線l同側的兩點，過點A作直線l的對稱點，連接B交直線l于點P，連接AP，則稱點P為點A，B關于直線的“等角點”．

（運用）如圖2，在平面直坐標系xOy中，已知A(2,)，B(-2,-)兩點．

（1）C(4,)，D(4,)，E(4,)三點中，點　　是點A，B關于直線x=4的等角點；

（2）若直線l垂直于x軸，點P(m,n)是點A，B關于直線l的等角點，其中m>2，∠APB=α，求證：；

（3）若點P是點A，B關于直線y=ax+b(a≠0)的等角點，且點P位于直線AB的右下方，當∠APB=60°時，求b的取值范圍（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1）C；（2）證明見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）根據“等角點”的定義找到A關于x＝4的對稱點A＇，連接A＇B，求得與x＝4的交點即可；

（2）根據“等角點”的定義和三角函數的知識，再利用△APG∽△BPH，即可得到；

（3）構造輔助圓⊙O解題，當直線y＝ax＋b與⊙O相交的另一個交點為Q時，利用圓周角定理以及對稱性可證明△ABQ為等邊三角形，從而確定Q為定點．再過A，Q分別作y軸的垂線，構造相似三角形（Rt△AMO∽Rt△ONQ），利用相似三角形對應邊成比例即可求出Q的坐標，再利用待定系數法求出BQ和AQ的解析式，由此即可確定b的取值范圍．

解：（1）點關于直線的對稱點為

直線解析式為：

當時，

故答案為：

（2）如圖，過點作直線的對稱點，連，交直線于點

作于點

點和關于直線對稱

，即

，即

，

在中，

（3）如圖，當點位于直線的右下方，時，

點在以為弦，所對圓周為，且圓心在下方

若直線與圓相交，設圓與直線的另一個交點為

由對稱性可知：，

又

，

是等邊三角形

線段為定線段

點為定點

若直線與圓相切，易得、重合

直線過定點

連，過點、分別作軸，軸，垂足分別為、

，

是等邊三角形

，

又，

，，點坐標為

設直線解析式為

將、坐標代入得

解得

直線的解析式為：.

設直線的解析式為：,

將、兩點代入，

解得.

直線的解析式為：.

若點與點重合，則直線與直線重合，此時，.

若點與點重合，則直線與直線重合，此時，.

又，且點位于右下方，

且或.