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如圖,在平面直角坐標系中,直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點,拋物線y=-x2+bx+c經過A、B兩點,并與x軸交于另一點C(點C點A的右側),點P是拋物線上一動點.
(1)求拋物線的解析式及點C的坐標;
(2)若點P在第二象限內,過點P作PD⊥x軸于D,交AB于點E.當點P運動到什么位置時,線段PE最長?此時PE等于多少?
(3)如果平行于x軸的動直線l與拋物線交于點Q,與直線AB交于點N,點M為OA的中點,那么是否存在這樣的直線l,使得△MON是等腰三角形?若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)首先求得A、B點的坐標,然后利用待定系數法求拋物線的解析式,并求出拋物線與x軸另一交點C的坐標;
(2)關鍵是求出線段PE長度的表達式,設D點橫坐標為t,則可以將PE表示為關于t的二次函數,利用二次函數求極值的方法求出PE長度的最大值;
(3)根據等腰三角形的性質和勾股定理,將直線l的存在性問題轉化為一元二次方程問題,通過一元二次方程的判別式可知直線l是否存在,并求出相應Q點的坐標.注意“△MON是等腰三角形”,其中包含三種情況,需要逐一討論,不能漏解.
解答:解:(1)∵直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點,∴A(-4,0),B(0,4)
拋物線y=-x2+bx+c經過A、B兩點,可得
,解得
∴拋物線解析式為y=-x2-3x+4.
令y=0,得-x2-3x+4=0,
解得x1=-4,x2=1,∴C(1,0).

(2)如答圖1所示,設D(t,0).
∵OA=OB,∴∠BAO=45°,
∴E(t,t+4),P(t,-t2-3t+4).
PE=yP-yE=-t2-3t+4-t-4=-t2-4t=-(t+2)2+4,
∴當t=-2時,線段PE的長度有最大值4,此時P(-2,6).

(3)存在.
如答圖2所示,過N點作NH⊥x軸于點H.
設OH=m(m>0),∵OA=OB,∴∠BAO=45°,
∴NH=AH=4-m,∴yQ=4-m.
又M為OA中點,∴MH=2-m.
△MON為等腰三角形:
①若MN=ON,則H為底邊OM的中點,
∴m=1,∴yQ=4-m=3.
由-xQ2-3xQ+4=3,解得xQ=
∴點Q坐標為(,3)或(,3);
②若MN=OM=2,則在Rt△MNH中,
根據勾股定理得:MN2=NH2+MH2,即22=(4-m)2+(2-m)2
化簡得m2-6m+8=0,解得:m1=2,m2=4(不合題意,舍去)
∴yQ=2,由-xQ2-3xQ+4=2,解得xQ=
∴點Q坐標為(,2)或(,2);
③若ON=OM=2,則在Rt△NOH中,
根據勾股定理得:ON2=NH2+OH2,即22=(4-m)2+m2
化簡得m2-4m+6=0,∵△=-8<0,
∴此時不存在這樣的直線l,使得△MON為等腰三角形.
綜上所述,存在這樣的直線l,使得△MON為等腰三角形.
所求Q點的坐標為(,3)或(,3)或(,2)或(,2).
點評:本題綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、一次函數、一元二次方程的解法及判別式、等腰三角形以及勾股定理等方面知識,涉及考點較多,難度較大.第(3)問中,注意等腰三角形有三種情形,需要分類討論,避免因漏解而導致失分.
練習冊系列答案
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(1)求點B的坐標;
(2)當∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標.

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5
29
5
29

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5
5

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k
x
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k
x
的解析式為(  )

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(1)求梯形OABC的面積;
(2)當直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(不要求過程,只需寫出結果).

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