Question

已知；如圖，AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，直線CM、DN分別切半圓于點C、D，且分別和直線AB相交于點M、N．
（1）求證：MO=NO；
（2）設∠M=30°，求證：MN=4CD．

Answer 1

證明：（1）連接CO、DO，
則有OC=OD，且OC⊥CM，OD⊥DN，
∴∠ODC=∠OCD，∠MCO=∠NDO=90°．
又∵CD∥AB，
∴∠OCD=∠MOC，∠ODC=∠NOD．
∴△MCO≌△NDO．
∴MO=NO．

（2）∵∠M=30°，
∴∠AOC=60°．
又∵AB∥CD，
∴∠OCD=60°．
∴△OCD為等邊三角形．
∴CD=OC．
又∵Rt△MCO中，OC=OA，∠M=30°，
∴MA=AO=OC．
同理可得NB=OB=OC，
∴MN=4CD．
分析：（1）連接CO、DO，則有OC=OD，且OC⊥CM，OD⊥DN，易證△MCO≌△NDO，故MO=NO；
（2）先證△OCD為等邊三角形，CD=OC，Rt△MCO中，OC=OA，∠M=30°，故MA=AO=OC，同理可得NB=OB=OC，故MN=4CD．
點評：本題綜合考查了圓周角定理，全等三角形的判定，等邊三角形的性質及平行線的性質．解答這類題一些學生不會綜合運用所學知識解答問題，不知從何處入手造成錯解．