Question

（2008•資陽）閱讀下列材料，按要求解答問題：
如圖1，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60度．小明通過以下計算：由題意，∠B=30°，∠C=90°，c=2b，a=b，得a²-b²=（b）²-b²=2b²=b•c．即a²-b²=bc．于是，小明猜測：對于任意的△ABC，當∠A=2∠B時，關系式a²-b²=bc都成立．
（1）如圖2，請你用以上小明的方法，對等腰直角三角形進行驗證，判斷小明的猜測是否正確，并寫出驗證過程；
（2）如圖3，你認為小明的猜想是否正確？若認為正確，請你證明；否則，請說明理由；
（3）若一個三角形的三邊長恰為三個連續偶數，且∠A=2∠B，請直接寫出這個三角形三邊的長，不必說明理由．

Answer 1

【答案】分析：等腰直角三角形中，∠A=90°，c=b，a=b，代入a²-b²=bc可以進行驗證；延長BA至點D，使AD=AC=b，連接CD，則△ACD為等腰三角形．根據△ACD∽△CBD，相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出所求證的結論．
解答：解：（1）由題意，得∠A=90°，c=b，a=b，
∴a²-b²=（b）²-b²=b²=bc；（3分）

（2）小明的猜想是正確的．（4分）
理由如下：如圖，延長BA至點D，使AD=AC=b，連接CD，（5分）
則△ACD為等腰三角形，
∴∠BAC=2∠ACD，又∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠ACD=∠D，
∴△CBD為等腰三角形，即CD=CB=a，（6分）
又∠D=∠D，∴△ACD∽△CBD，（7分）
∴，
即，
∴a²=b²+bc，
∴a²-b²=bc；（8分）

（3）由于三邊長為三個連續整數，
設三個連續的偶數是2n-2，2n，2n+2，
則（2n+2）²-（2n-2）²=2n（2n-2），
解得：n=5，則三個數分別是：8，10，12．
可知：a=12，b=8，c=10．（10分）
點評：解決本題的關鍵是正確認識等腰直角三角形的邊的關系，證明△ACD∽△CBD是解題的關鍵．