Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，CE⊥AB于E，CD平分∠ECB，交過點B的射線于D，交AB于F，且BC=BD．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若AE=8，CE=12，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）要證明BD是⊙O的切線，由已知條件轉化為證明BD⊥AB即可；
（2）連接OC，設半徑為R，在Rt△CEO中，利用勾股定理求解．

解答：（1）證明：∵CD平分∠ECB，BC=BD，
∴∠ECD=∠BCD，∠BCD=∠D，
∴∠ECD=∠D，
∴CE∥BD，
∵CE⊥AB，
∴BD⊥AB，
∵AB為⊙O的直徑，
∴BD為⊙O的切線；

（2）連接AC，設半徑為R，
∴OE=R-8，
∵CE⊥AB，
∴∠CEO=90°，
∴OC²=OE²+CE²，
即R²=（R-8）²+12²，
解得：R=13，
即⊙O的半徑為13．

點評：本題考查了切線的判定定理以及勾股定理的運用，題目綜合性很強，難度不大．