Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知OA=OB=2，∠AOB=30°．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

-1

，

3

）；
（2）將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度（0＜a＜90）．
①當(dāng)a=30時(shí)，點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上，求k的值；
②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)A、B能否同時(shí)落在上述反比例函數(shù)的圖象上？若能，求出a的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）作AC⊥x軸于點(diǎn)C，在直角△AOC中，利用三角函數(shù)即可求得AC、OC的長(zhǎng)度，則A的坐標(biāo)即可求解；
（2）①當(dāng)a=30時(shí)，點(diǎn)B的位置與A一定關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，在B的坐標(biāo)可以求得，利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；
②當(dāng)α=60°時(shí)，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)正好互換，則一定都在反比例函數(shù)的圖象上．

解答：解：（1）作AC⊥x軸于點(diǎn)C，
在直角△AOC中，∠AOC=90°-∠AOB=60°，
則AC=OA•sin∠AOC=2×

3

2

=

3

，OC=OA•cos60°=2×

1

2

=1，
則A的坐標(biāo)是（-1，

3

）；
（2）①當(dāng)α=30°時(shí)，B的坐標(biāo)與A（-1，

3

）一定關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)B（1，

3

）．
把（1，

3

）代入函數(shù)解析式得：k=

3

；
②當(dāng)α=60°時(shí)，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A（1，

3

），點(diǎn)B（

3

，1），
∵xy=

3

，
∴當(dāng)α=60°，A、B能同時(shí)落在上述反比例函數(shù)的圖象上．

點(diǎn)評(píng)：本題是反比例函數(shù)與圖形的旋轉(zhuǎn)，三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確求得A的坐標(biāo)是關(guān)鍵．