Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與正方形的頂點(diǎn)重合），連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE交CD于點(diǎn)F．設(shè)BE=x，CF=y，求下列問題：
（1）證明△ABE∽△ECF；
（2）求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）試求當(dāng)x取何值時(shí)？y有最大或最小值，是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正方形的內(nèi)角為90°，以及同角的余角相等得出三角形的兩個(gè)角相等，繼而得出結(jié)論．
（2）由三角形相似，得出比例關(guān)系，代入數(shù)值計(jì)算即可．
（3）把函數(shù)式變換成頂點(diǎn)式，根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出答案．
解答：解：（1）證明：∵正方形ABCD，
∴∠B=∠C，∠BAE+∠BEA=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠BEA+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF．

（2）∵△ABE∽△ECF，
∴
∵BE=x，CF=y，正方形ABCD的邊長為1，
則CE=1-x，
∴，
∴y=-x²+x．

（3）由（2）得y=-x²+x，
∴，
∴可知拋物線的頂點(diǎn)為（），開口向下，
∴x=時(shí)，y_最大=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合了三角形相似的性質(zhì)．拋物線是常考的類型題，在平時(shí)的訓(xùn)練中需要特別的注意．