Question

如圖，一次函數y=x+3的圖象與x軸，y軸交于A，B兩點，與反比例函數的圖象相交于C，D兩點，分別過C，D兩點作y軸，x軸的垂線，垂足為E，F，連接CF，DE．有下列四個結論：
①△CEF與△DEF的面積相等；
②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；
④AC=BD．
其中正確的結論是（ ）

A．①②
B．①②③
C．①②③④
D．②③④

Answer 1

【答案】分析：設D（x，），得出F（x，0），根據三角形的面積公式求出△DEF的面積，同法求出△CEF的面積，即可判斷①；根據面積相等，推出邊EF上的高相等，推出CD∥EF，即可證出△AOB∽△FOE，可判斷②；算出C、D點坐標，可得到DF=CE，再證出∠DCE=∠FDA=45°，根據全等三角形的判定判斷③即可；證出平行四邊形BDFE和平行四邊形ACEF，可推出BD=AC，判斷④即可．
解答：解：①設D（x，），則F（x，0），
由圖象可知x＞0，
∴△DEF的面積是：×||×|x|=2，
設C（a，），則E（0，），
由圖象可知：＜0，a＞0，
△CEF的面積是：×|a|×||=2，
∴△CEF的面積=△DEF的面積，
故①正確；

②△CEF和△DEF以EF為底，則兩三角形EF邊上的高相等，
故EF∥CD，
∴FE∥AB，
∴△AOB∽△FOE，
故②正確；

③∵C、D是一次函數y=x+3的圖象與反比例函數的圖象的交點，
∴x+3=，
解得：x=-4或1，
經檢驗：x=-4或1都是原分式方程的解，
∴D（1，4），C（-4，-1），
∴DF=4，CE=4，
∵一次函數y=x+3的圖象與x軸，y軸交于A，B兩點，
∴A（-3，0），B（0，3），
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵DF∥BO，AO∥CE，
∴∠BCE=∠BAO=45°，∠FDA=∠OBA=45°，
∴∠DCE=∠FDA=45°，
在△DCE和△CDF中，
∴△DCE≌△CDF（SAS），
故③正確；

④∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四邊形BDFE是平行四邊形，
∴BD=EF，
同理EF=AC，
∴AC=BD，
故④正確；
正確的有4個．
故選C．
點評：本題考查了平行四邊形的性質和判定，三角形的面積，全等三角形的判定，相似三角形的判定，檢查同學們綜合運用定理進行推理的能力，關鍵是需要同學們牢固掌握課本知識．