Question

如圖甲，在平面直角坐標系中，直線y=-x+4分別交x軸、y軸于點A、B，⊙O的半徑為

5

個單位長度．點P為直線y=-x+4上的動點，過點P作⊙O的切線PC、PD，切點分別為C、D，且PC⊥PD．
（1）寫出點A、B的坐標：A

（4，0）

，B

（0，4）

；
（2）試說明四邊形OCPD的形狀（要有證明過程）；
（3）求點P的坐標；
（4）如圖乙，若直線y=-x+b將⊙O的圓周分成兩段弧長之比為1：3，請直接寫出b的值：b=

5

或-

5

．

Answer 1

分析：（1）根據直線解析式來求點A、B的坐標；
（2）四邊形OCPD是正方形．如圖甲，連接OC、OD．根據切線的性質和已知條件得知四邊形OCPD的三個內角是90度，則該四邊形是矩形．又由OC=OD，所以四邊形OCPD是正方形；
（3）過P作x軸的垂線，垂足為F，連接OD、OP．根據切線的性質及PC⊥PD，得出∠OPD=∠OPC=45°，進而證明△OPD是等腰直角三角形，求出OP的長．再設P（m，-m+4），然后△OPF中運用勾股定理列出關于m的方程，解方程即可．
（4）如圖乙，需要分兩種情況進行討論：根據已知條件“直線y=-x+b將⊙O的圓周分成兩段弧長之比為1：3”可知∠AOB=90°，故易求b的值．

解答：解：（1）如圖甲，∵直線的解析式為y=-x+4，
∴當y=0時，x=4；當x=0時，y=4，即A（4，0），B（0，4）；
故答案是：（4，0），（0，4）；

（2）四邊形OCPD是正方形．證明過程如下：
如圖甲，連接OC、OD．
∵PC、PD是⊙O的兩條切線，
∴∠PCO=∠PDO=90°．
又∵PC⊥PD，
∴四邊形OCPD是矩形．
又∵OC=OD，
∴四邊形OCPD是正方形；

（3）如圖甲，過P作x軸的垂線，垂足為F，連接OP．
∵PC、PD是⊙O的兩條切線，∠CPD=90°，
∴∠OPD=∠OPC=

1

2

∠CPD=45°，
∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°，
∴OD=PD=

5

，OP=

10

∵P在直線y=-x+4上，設P（m，-m+4），則OF=m，PF=-m+4，
∵∠PFO=90°，OF²+PF²=PO²，
∴m²+（-m+4）²=（

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）²，
解得m=1或3，
∴P的坐標為（1，3）或（3，1）；

（4）分兩種情形，直線y=-x+b將圓周分成兩段弧長之比為1：3，可知被割得的弦所對的圓心角為90°，又直線y=-x+b與坐標軸的夾角為45°，如圖可知，分兩種情況，所以，b的值為

5

或-

5

．
故答案是：

5

或-

5

．

點評：本題考查了圓的綜合應用；有函數參與的幾何題往往要找出等量關系后利用函數的解析式列方程進行解答，這種數形結合的思想非常重要，要認真掌握．