Question

【題目】已知：在Rt△ABC中，∠C=90°∠A、∠B、∠C所對的邊分別記作a、b、c．

（1）如圖1，分別以△ABC的三條邊為邊長向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作S1、S2、S3，則有____________；

（2）如圖2，分別以△ABC的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分別記作S1、S2、S3，請問S1+S2與S3有怎樣的數量關系，并證明你的結論；

（3）分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作S1、S2、S3，根據（2）中的探索，直接回答S1+S2與S3有怎樣的數量關系；

（4）若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出圖4中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】(1)S1+S2=S3；（2）；（3）；(4)24cm.

【解析】試題分析：（1）根據勾股定理即可得到a，b，c滿足的關系．
（2）根據正方形的面積公式結合勾股定理就可發現大正方形的面積是兩個小正方形的面積和；
（3）分別表示出S1、S2、S3，結合勾股定理即可得出關系式．
（4）根據半圓的面積公式以及勾股定理就可發現：兩個小半圓的面積和等于大半圓的面積，從而得出陰影部分的面積=直角三角形的面積．

試題解析：（1）根據勾股定理可得S1+S2=S3．

（2）由題意得，S1=b2，S2=a2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．
（3）S1=×b2，S2=×a2，S3=×c2，∵a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．
（4）因為a2+b2=c2，兩邊同乘以，即得兩小半圓的面積和等于大半圓的面積，
從而可得S陰影部分的面積=S直角三角形的面積=×8×6=24．故陰影部分的面積是24．