Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于A（2，0），B（6，0）兩點，交y軸于C（0，2）．
（1）求拋物線的解析式；　
（2）若此拋物線的對稱軸與直線y=2x交于點D，作⊙D與x軸相切，⊙D交y軸于點E、F兩點，求劣弧EF的長；
（3）若點P是此拋物線上在第二象限圖象上的一點，PG垂直于x軸，垂足為點G，試確定P點的位置，使得△PGA的面積被直線AC分為1：2兩部分．

Answer 1

解：（1）∵拋物線經過點A（2，0），B（6，0），
∴設拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-6），
又∵拋物線過點C（0，2 ），
∴2=a（0-2）（0-6），
解得a=，
∴拋物線的解析式為：y=（x-2）（x-6），
即y=x²-x+2；

（2）易知拋物線的對稱軸是x=4，
把x=4代入y=2x，得y=8，
∴點D的坐標為（4，8）．
∵⊙D與x軸相切，∴⊙D的半徑為8．
連接DE、DF，作DM⊥y軸，垂足為點M．
在Rt△MFD中，FD=8，MD=4，
∴cos∠MDF=，
∴∠MDF=60°，
∴∠EDF=120°，
∴劣弧EF的長為：=；

（3）設直線AC的解析式為y=kx+b．
∵直線AC經過點A（2，0），C（0，2），
∴，
解得，
∴直線AC的解析式為：y=-x+2．
設點P（m，m²-m+2）（m＜0），PG交直線AC于N，則點N坐標為（m，-m+2）．
∵S_△PNA：S_△GNA=PN：GN，
∴分兩種情況：
①若PN：GN=1：2，則PG：GN=3：2，PG=GN，
即 m²-m+2=（-m+2），
解得：m₁=-3，m₂=2（舍去）．
當m=-3時，m²-m+2=；
∴此時點P的坐標為（-3，）；
②若PN：GN=2：1，則PG：GN=3：1，PG=3GN；
即 m²-m+2=3（-m+2），
解得：m₁=-12，m₂=2（舍去）．
當m₁=-12時，m²-m+2=42．
∴此時點P的坐標為（-12，42）．
綜上所述，當點P坐標為（-3，）或（-12，42）時，△PGA的面積被直線AC分成1：2兩部分．
分析：（1）根據交點式可設拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-6），再將C點坐標代入，即可求出拋物線的解析式；
（2）根據（1）得到的拋物線的解析式，可求出其對稱軸方程，聯立直線OD的解析式求出D點的坐標；由于⊙D與x軸相切，那么D點縱坐標即為⊙D的半徑；欲求劣弧EF的長，關鍵是求出圓心角∠EDF的度數．連接DE、DF，過D作y軸的垂線DM，則DM即為D點的橫坐標，通過解直角三角形求得∠EDM的度數，由垂徑定理得到∠EDF的度數，進而根據弧長計算公式求出劣弧EF的長；
（3）先用待定系數法求出直線AC的解析式，設直線AC與PG的交點為N，設P點的橫坐標為m，根據拋物線與直線AC的解析式得到P、N的縱坐標，進而可用含m的代數式分別表示出PN，NG的長；然后在Rt△PGA中，由于△PNA與△NGA同高，所以它們的面積比等于底邊PN、NG的比，因此分兩種情況討論：①△PNA的面積是△NGA面積的2倍，則PN：NG=2：1；②△PNA的面積是△NGA面積的，則NG=2PN；根據上述兩種情況所得的不同等量關系求出P點的橫坐標，進而由拋物線的解析式確定出P點的坐標．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點、圖形面積的求法等知識，需要特別注意的是（3）題中，△PGA被直線AC所分成的兩部分中，并沒有明確誰大誰小，所以要分類討論，以免漏解．