Question

能否把正整數(shù)1至10擺放到一個(gè)圓周上，使得其中任何兩個(gè)相間一個(gè)數(shù)的數(shù)的和（a_i+a_i+2）都是3的倍數(shù)？

Answer 1

【答案】分析：假設(shè)把正整數(shù)1至10擺放到一個(gè)圓周上，能夠使得其中任何兩個(gè)相間一個(gè)數(shù)的數(shù)的和（a_i+a_i+2）都是3的倍數(shù)，那么這十個(gè)數(shù)之和的2倍就該是3的倍數(shù)，從而得出矛盾，進(jìn)而得出結(jié)論．
解答：解：不能把正整數(shù)1到10擺放到一個(gè)圓周上，使得其中任何兩個(gè)相間一個(gè)數(shù)的數(shù)和都是3的倍數(shù)．理由如下：
用a_i（i=1，2，3，…，10）表示正整數(shù)1至10，將正整數(shù)1至10任意擺放到一個(gè)圓周上，如圖，假設(shè)此時(shí)其中任何兩個(gè)相間一個(gè)數(shù)的數(shù)的和（a_i+a_i+2）都是3的倍數(shù)，
那么a₁+a₃，a₂+a₄，a₃+a₅，a₄+a₆，a₅+a₇，a₆+a₈，a₇+a₉，a₈+a₁₀，a₉+a₁，a₁₀+a₂，都是3的倍數(shù)，
所以（a₁+a₃）+（a₂+a₄）+（a₃+a₅）+（a₄+a₆）+（a₅+a₇）+（a₆+a₈）+（a₇+a₉）+（a₈+a₁₀）+（a₉+a₁）+（a₁₀+a₂）=2（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀）是3的倍數(shù)，
而2（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀）=2×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）=110，不是3的倍數(shù)，
所以假設(shè)不成立．
故不能把正整數(shù)1至10擺放到一個(gè)圓周上，使得其中任何兩個(gè)相間一個(gè)數(shù)的數(shù)的和（a_i+a_i+2）都是3的倍數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)的整除性，屬于競(jìng)賽題型，有一定難度，根據(jù)整除的性質(zhì)及已知條件得出這十個(gè)數(shù)之和的2倍就該是3的倍數(shù)是解題的關(guān)鍵．