Question

如圖所示，AB是⊙O直徑，OD⊥弦BC于點F，且交⊙O于點E，且∠AEC=∠ODB．
（1）判斷直線BD和⊙O的位置關系，并給出證明；
（2）當AB=10，BC=8時，求△DFB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線BD和⊙O的位置關系是相切，理由是由∠AEC=∠ABC，∠AEC=∠ODB，得到∠ABC=∠ODB，求出∠BOD+∠D=90°，推出∠OBD=90°，即可得到
（2）根據垂徑定理得出BF=CF=BC=4，連接AC，由AB是圓的直徑得到∠ACB=∠DFB=90°，證出△ACB∽△BED，根據相似三角形的性質得到===，求出△ABC的面積，即可求出△DFB的面積．
解答：（1）答：直線BD和⊙O的位置關系是相切，
證明：∵∠AEC=∠ABC，∠AEC=∠ODB，
∴∠ABC=∠ODB，
∵OD⊥弦BC，
∴∠OFB=90°，
∴∠DOB+∠ABC=90°，
∴∠BOD+∠D=90°，
∴∠OBD=180°-90°=90°，
∵OB是半徑，
∴直線BD是圓O的切線，
即直線BD和⊙O的位置關系是相切；

（2）解：∵OD⊥BC，OE是圓O的半徑，BC=8，
∴BF=CF=BC=4，
∠DFB=90°，
連接AC，
∵AB是圓的直徑，
∴∠ACB=∠DFB=90°，
∵∠D=∠ABC，
∴△ACB∽△BFD，
∴===，
∵△ABC的面積是×6×8=24，
∴△DFB的面積是，
答：△DFB的面積是．
點評：本題主要考查對三角形的面積，相似三角形的性質和判定，圓周角定理，垂徑定理，切線的判定，三角形的內角和定理等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質進行推理是解此題的關鍵，題型較好，綜合性強．