Question

（2002•泰州）已知一次函數的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點，且與反比例函數的圖象在第一象限交于點C（4，n），CD⊥x軸于D．
（1）求m、n的值，并在給定的直角坐標系中作出一次函數的圖象；
（2）如果點P、Q分別從A、C兩點同時出發，以相同的速度沿線段AD、CA向D、A運動，設AP=k．
①k為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似？
②k為何值時，△APQ的面積取得最大值并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據反比例函數的解析式求得n的值，再根據點C的坐標求得m的值．根據直線與坐標軸的交點坐標準確畫出函數的圖象；
（2）①已知△AOB是直角三角形，要使以A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似，則∠APQ=90°或∠AQP=90°．根據題意表示對應的兩條邊，再根據相似三角形的對應邊的比相等列方程求解；②首先根據相似三角形的對應邊的比相等表示出AP邊上的高，再進一步表示三角形的面積，根據函數解析式分析其最值．
解答：解：（1）把（4，n）代入反比例函數，得：n=6
把（4，6）代入一次函數y=x+m，得：m=3
∴y=x+3．
令x=0，則y=3；令y=0，則x=-4．（如圖）

（2）①根據題意，得AP=CQ=k，根據勾股定理，得AC=10，則AQ=10-k
當∠APQ=90°時，則有，即，k=；
當∠AQP=90°時，則有，即，k=．
②作QM⊥x軸于M，則△AQM∽△ACD，
則有，即，QM=．
則S_△APQ=××k=-k²+3k
所以當k=5時，則該三角形的面積的最大值是7.5．
點評：能夠根據函數的解析式求得點的坐標，能夠根據點的坐標求得函數的解析式；熟練運用相似三角形的判定和性質．