Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，∠ABC=∠BAC=90°，在AD上取一點E，將△ABE沿直線BE折疊，使點A落在BD上的G處，EG的延長線交直線BC于點F．

（1）試探究AE、ED、DG之間有何數量關系？說明理由；

（2）判斷△ABG與△BFE是否相似，并對結論給予證明；

（3）設AD=a，AB=b，BC=c．

①當四邊形EFCD為平行四邊形時，求a、b、c應滿足的關系；

②在①的條件下，當b=2時，a的值是唯一的，求∠C的度數．

Answer 1

【答案】（1）AE2+DG2=ED2，理由見解析；（2）△ABG∽△BFE，理由見解析；（3）①a2+b2=ac；②∠C=45°．

【解析】試題分析：（1）由折疊得到∠EGB=∠EAB=90°，再利用勾股定理即可；

（2）先判斷△EAB≌△EGB，然后∠ABG=∠EFB和∠BAG=∠FBE，即得等到結論；

（3）由（2）中的結論△ABG∽△BFE得出結論，再判定出△ABD∽△HCD得出比例式，就找到結論，再由根與系數的關系，判斷計算即可．

試題解析：（1）AE2+DG2=ED2；

理由：據折疊性質得：△EAB≌△EGB，AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，

∴在Rt△EGD中，由勾股定理得：EG2+DG2=ED2，

∴AE2+DG2=ED2；

（2）△ABG∽△BFE．

理由：∵∠ABC=∠BAC=90°，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBF，

∵△EAB≌△EGB，∠AEB=∠BEG，∴∠EBF=∠BEF，∴FE=FB，即△FEB為等腰三角形，

∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，∴∠ABG=∠EFB，

在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（180°-∠ABG）÷2，∠FBE=（180°-∠EFB）÷2，

∴∠BAG=∠FBE，

∴△ABG∽△BFE；

（3）①∵△ABG∽△BFE，∴∠EFB=∠GBA，∴∠C=∠ABG，

∵∠DAB=∠DHC=90°，∴△ABD∽△HCD，∴ ，

∴ ，∴a2+b2=ac；

②當b=2時，設關于a的一元二次方程a2﹣ac+22=0的兩根為a1，a2，

得：a1a2=c＞0，a1+a2=4＞0，∴a1＞0，a2＞0，

由題意a1=a2，∴△=0，即c2﹣16=0，

∵c＞0，∴c=4，∴a=2，∴H為BC中點，且ABHD為正方形，∴DH=HC，

∴∠C=45°．