Question

（11·漳州）（滿分14分）如圖1，拋物線y＝mx²－11mx＋24m (m＜0) 與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側），拋物線另有一點A在第一象限內，且∠BAC＝90°．
（1）填空：OB＝_  ▲  ，OC＝_  ▲  ；
（2）連接OA，將△OAC沿x軸翻折后得△ODC，當四邊形OACD是菱形時，求此時拋物線的解析式；
（3）如圖2，設垂直于x軸的直線l：x＝n與（2）中所求的拋物線交于點M，與CD交于點N，若直線l沿x軸方向左右平移，且交點M始終位于拋物線上A、C兩點之間時，試探究：當n為何值時，四邊形AMCN的面積取得最大值，并求出這個最大值．

Answer 1

解：（1）OB＝3，OC＝8                                                ………………4分
（2）連接OD，交OC于點E
∵四邊形OACD是菱形
∴AD⊥OC，OE＝EC＝×8＝4
∴BE＝4－3＝1
又∵∠BAC＝90°，
∴△ACE∽△BAE
∴＝
∴AE²＝BE·CE＝1×4
∴AE＝2                                                     ………………6分
∴點A的坐標為 (4，2)                                        ………………7分
把點A的坐標 (4，2)代入拋物線y＝mx²－11mx＋24m，得m＝－
∴拋物線的解析式為y＝－x²＋x－12                          ………………9分
（3）∵直線x＝n與拋物線交于點M
∴點M的坐標為 (n，－n²＋n－12)
由（2）知，點D的坐標為（4，－2），
則C、D兩點的坐標求直線CD的解析式為y＝x－4
∴點N的坐標為 (n，n－4)
∴MN＝（－n²＋n－12）－（n－4）＝－n²＋5n－8           ………………11分
∴S_{四邊形AMCN}＝S_△AMN＋S_△CMN＝MN·CE＝（－n²＋5n－8）×4
＝－(n－5)²＋9                                     ………………13分
∴當n＝5時，S_{四邊形AMCN}＝9                                    ………………14分解析:
略