Question

【題目】 如圖，已知矩形紙片ABCD，AD＝2，AB＝4，將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合，折痕FG分別與AB、CD交于點G、F，AE與FG交于點O．

（1）如圖1，求證：A、G、E、F四點圍成的四邊形是菱形；

（2）如圖2，點N是線段BC的中點，且ON＝OD，求折痕FG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）折痕FG的長是．

【解析】

（1）根據折疊的性質判斷出AG＝GE，∠AGF＝∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG＝∠AGF，從而判斷出EF＝AG，得出四邊形AGEF是平行四邊形，繼而結合AG＝GE，可得出結論．

（2）連接ON，得出ON是梯形ABCE的中位線，設CE=x,在RT△ADE中，利用勾股定理可解出x，繼而可得出折痕FG的長度．

（1）證明：由折疊的性質可得，GA＝GE，∠AGF＝∠EGF，

∵DC∥AB，

∴∠EFG＝∠AGF，

∴∠EFG＝∠EGF，

∴EF＝EG＝AG，

∴四邊形AGEF是平行四邊形（EF∥AG，EF＝AG），

又∵AG＝GE，

∴四邊形AGEF是菱形．

（2）解：連接ON，

∵O，N分別是AE，CB的中點，

故ON是梯形ABCE的中位線，

設CE＝x，則ED＝4﹣x，2ON＝CE+AB＝x+4，

在Rt△AED中，AE＝2OE＝2ON＝x+4，

AD2+DE2＝AE2，

∴22+（4﹣x）2＝（4+x）2，

得x＝，

OE＝，

∵△FEO∽△AED，

∴，

解得：FO＝，

∴FG＝2FO＝．

故折痕FG的長是．