Question

【題目】如圖，已知A、B兩點的坐標分別為（4，0）和（0，3），動點P從點A出發，以每秒2個長度單位的速度沿AO向O運動，在點P出發的同時，動直線EF從x軸出發，以每秒1個長度單位沿y軸方向向上平移，分別與y軸、線段AB交于EP、FP．設運動時間為ts（0＜t≤2）．

（1）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使得△EOP與△AOB相似？若存在，請求出所有符合題意的t的值；若不存在，請說明理由．

（2）若△PEF是等腰三角形，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）存在，理由見解析，t的值為s或s；（2）t的值為s或（16﹣4）s

【解析】

（1）分∠EPO＝∠BAO和∠EPO＝∠ABO兩種情況，由相似三角形的性質得出比例式，即可得出答案；

（2）分PE＝PF, EP＝EF, FE＝FP三種情況，根據等腰三角形的性質、相似三角形的性質和勾股定理進行解答即可．

解：（1）存在，理由如下：

∵A、B兩點的坐標分別為（4，0）和（0，3），

∴OA＝4，OB＝3，

當∠EPO＝∠BAO時，△EOP∽△BOA，

即

解得：t＝ ；

當∠EPO＝∠ABO時，△EOP∽△AOB，

即

解得：t＝ ；

綜上所述，存在某一時刻t，使得△EOP與△AOB相似，t的值為s或s；

（2）分三種情況：

①當PE＝PF時，如圖1所示：作PG⊥EF于G，如圖1所示：

則EG＝OP，

∴EF＝2EG＝2OP，

∵EF∥OA，

∴△BEF∽△BOA，

即

解得：EF＝（3﹣t），

∴（3﹣t）＝2（4﹣2t）

解得：t＝ ；

②當EP＝EF時，由勾股定理得

t2+（4﹣2t）2＝[（3﹣t）]2，

整理得：29t2+24t＝0，

解得：t＝0（不合題意舍去）或t＝ （不合題意舍去）；

③當FE＝FP時，作FG⊥OA于G，如圖3所示：

則OG＝EF＝（3﹣t），PG＝OG﹣OP＝（3﹣t）﹣（4﹣2t），

∵FE2＝FP2，

∴[(3﹣t）]2＝t2+[（3﹣t）﹣（4﹣2t）]2，

解得：t＝16+4 （不合題意舍去）或t＝16﹣4 ；

綜上所述，若△PEF是等腰三角形，t的值為s或（16﹣4）s．