Question

如圖，四邊形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點E。

（1）求證：AB·AF=CB·CD；
（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是線段DE上的動點，設DP=xcm，梯形BCDP的面積為ycm²。
①求y關于x的函數關系式；
②當x為何值時，△PBC的周長最小，并求出此時y的值。

Answer 1

解：（1）∵，
∴DE垂直平分AC，
∴，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF，
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，
∴∠DCF=∠DAF=∠B，
在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B，
∴△DCF∽△ABC，
∴，
即，
∴AB·AF=CB·CD；
（2）①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，
∴，
∴，
 ∴；
②∵BC=9（定值），
∴△PBC的周長最小，就是PB+PC最小，
由（1）知，點C關于直線DE的對稱點是點A，
∴PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小，
顯然當P、A、B三點共線時PB+PA最小，
此時DP=DE，PB+PA=AB，
由（1），
得△DAF∽△ABC，EF∥BC，
得，EF=，
∴AF∶BC=AD∶AB，即6∶9=AD∶15，
∴AD=10，
Rt△ADF中，AD=10，AF=6，
∴DF=8，
∴，
∴當時，△PBC的周長最小，此時。