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【題目】如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AB=8,∠BAD=60°,點E從點A出發,沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動,當點E不與點A重合時,過點E作EF⊥AD于點F,作EG∥AD交AC于點G,過點G作GH⊥AD交AD(或AD的延長線)于點H,得到矩形EFHG,設點E運動的時間為t秒

(1)求線段EF的長(用含t的代數式表示);

(2)求點H與點D重合時t的值;

(3)設矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積與S平方單位,求S與t之間的函數關系式;

(4)矩形EFHG的對角線EH與FG相交于點O′,當OO′∥AD時,t的值為 ;當OO′⊥AD時,t的值為

【答案】(1)EF=t;(2)t=;(3);(4)t=4;t=3.

【解析】

試題分析:(1)由題意知:AE=2t,由銳角三角函數即可得出EF=t;

(2)當H與D重合時,FH=GH=8﹣t,由菱形的性質和EG∥AD可知,AE=EG,解得t=

(3)矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形需要分以下兩種情況討論:①當H在線段AD上,此時重合的部分為矩形EFHG;②當H在線段AD的延長線上時,重合的部分為五邊形;

(4)當OO′∥AD時,此時點E與B重合;當OO′⊥AD時,過點O作OM⊥AD于點M,EF與OA相交于點N,然后分別求出O′M、O′F、FM,利用勾股定理列出方程即可求得t的值.

試題解析:(1)由題意知:AE=2t,0≤t≤4,∵∠BAD=60°,∠AFE=90°,∴sin∠BAD=,∴EF=t;

(2)∵AE=2t,∠AEF=30°,∴AF=t,當H與D重合時,此時FH=8﹣t,∴GE=8﹣t,∵EG∥AD,∴∠EGA=30°,∵四邊形ABCD是菱形,∴∠BAC=30°,∴∠BAC=∠EGA=30°,∴AE=EG,∴2t=8﹣t,∴t=

(3)當0≤t≤時,此時矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形為矩形EFHG,∴由(2)可知:AE=EG=2t,∴S=EFEG=t2t=

<t≤4時,如圖1,設CD與HG交于點I,此時矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形為五邊形FEGID,∵AE=2t,∴AF=t,EF=t,∴DF=8﹣t,∵AE=EG=FH=2t,∴DH=2t﹣(8﹣t)=3t﹣8,∵∠HDI=∠BAD=60°,∴tan∠HDI=,∴HI=DH,∴S=EFEG﹣DHHI==

綜上所述:

(4)當OO′∥AD時,如圖2此時點E與B重合,∴t=4;

當OO′⊥AD時,如圖3,過點O作OM⊥AD于點M,EF與OA相交于點N,由(2)可知:AF=t,AE=EG=2t,∴FN=t,FM=t,∵O′O⊥AD,O′是FG的中點,∴O′O是△FNG的中位線,∴O′O=FN=t,∵AB=8,∴由勾股定理可求得:OA=OM=,∴O′M=,∵FE=t,EG=2t,∴由勾股定理可求得:,∴由矩形的性質可知:,∵由勾股定理可知:,∴,∴t=3或t=﹣6(舍去).

故答案為:t=4;t=3.

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