Question

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，將△ABC繞點B順時針旋轉角a（0°＜a＜90°）得△A₁BC₁，A₁B交AC于點E，A₁C₁分別交AC、BC于D、F兩點．
（1）如圖1，觀察并猜想：圖中在不連接其它線段的情況下，共有多少對全等三角形（不包含△ABC≌△A₁BC₁）？將它們全部寫出來，并且選一組全等三角形進行證明；
（2）如圖2，當a=30°時，求ED的長．

Answer 1

分析：（1）因為AB=BC，由旋轉的性質可知，∠A=∠C=∠C₁，AB=BC=BC₁，∠ABE=∠C₁BF，可證△ABE≌△C₁BF；由△ABE≌△C₁BF得BE=BF，故AE=AB-BE=BC-BF=CF，∠A₁=∠C，可證△DAE≌△DCF；由△DAE≌△DCF得DE=DF，及BE=BF，BD=BD，可證△DEB≌△DFB；由A₁B=BC，A₁D=DC，BD=BD，可證△ABD≌△C₁BD；同理可證△A₁BD≌△CBD．
（2）當a=30°時，在△ABE中，∠A=∠EBA=30°，AB=2，作EG⊥AB，垂足為G，解直角三角形求BE．

解答：解：（1）共5組：△ABE≌△C₁BF，△DAE≌△DCF，△DEB≌△DFB，△ABD≌△C₁BD，△A₁BD≌△CBD；

（2）當a=30°時，如圖2，作EG⊥AB，垂足為G，
∵在△ABE中，∠A=∠EBA=30°，AB=2，
∴AG=

1

2

AB=1，在Rt△AEG中，AE=

AG

cos∠A

=

2 3

3

，
∴DE=AD-AE=AB-AE=

6-2 3

3

．

點評：本題考查了三角形全等的判斷方法，旋轉的性質及解直角三角形的知識．