Question

已知拋物線C₁：y=mx²+（2m+1）x+m+1，其中m≠0．
（1）求證：m為任意非零實數(shù)時，拋物線C₁與x軸總有兩個不同的交點；
（2）求拋物線C₁與x軸的兩個交點的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）將拋物線C₁沿x軸正方向平移一個單位長度得到拋物線C₂，則無論m取任何非零實數(shù)，C₂都經(jīng)過同一個定點，直接寫出這個定點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）求出b²-4ac的值，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出即可；
（2）求出方程mx²+（2m+1）x+m+1=0的解即可；
（3）根據(jù)平移的規(guī)律得出C₂的解析式y(tǒng)=mx²+x+1，求出拋物線與y軸的交點即可．

解答：解：（1）證明：△=b²-4ac=（2m+1）²-4•m•（m+1）=1＞0，
∴m為任意非零實數(shù)時，拋物線C₁與x軸總有兩個不同的交點．

（2）mx²+（2m+1）x+m+1=0，
分解因式得：（mx+m+1）（x+1）=0，
mx+m+1=0，x+1=0，
∴x₁=-

m+1

m

，x₂=-1，
∴（-

m+1

m

，0），（-1，0），
答：拋物線C₁與x軸的兩個交點的坐標(biāo)是（-

m+1

m

，0），（-1，0）．

（3）∵將拋物線C₁沿x軸正方向平移一個單位長度得到拋物線C₂，拋物線C₁：y=mx²+（2m+1）x+m+1，
∴C₂：y=m（x-1）²+（2m+1）（x-1）+m+1=mx²+x，
∴無論m取任何非零實數(shù)，C₂都經(jīng)過同一個定點（0，0），
答：無論m取任何非零實數(shù)，C₂都經(jīng)過同一個定點，這個定點的坐標(biāo)是（0，0）．

點評：本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，平移的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能根據(jù)性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．