Question

（2007•濱州）如圖，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，AB=DE=3，AC=2DF=4．
（1）判斷這兩個三角形是否相似并說明為什么？
（2）能否分別過A，D在這兩個三角形中各作一條輔助線，使△ABC分割成的兩個三角形與△DEF分割成的兩個三角形分別對應相似？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：根據已知及相似三角形的判定方法進行分析即可．
解答：解：（1）不相似．（1分）
∵在Rt△BAC中，∠A=90°，AB=3，AC=4；
在Rt△EDF中，∠D=90°，DE=3，DF=2，
∵=，=，
∴≠，
∴Rt△BAC與Rt△DFE不相似．（4分）

（2）能作如圖所示的輔助線進行分割．
證明：作∠BAM=∠E，交BC于M；作∠NDE=∠B，交EF于N．（7分）
由作法和已知條件可知△BAM∽△DEN．（8分）
∵∠BAM=∠E，∠NDE=∠B，∠AMC=∠BAM+∠B，∠FND=∠E+∠NDE，
∴∠AMC=∠FND．（9分）
∵∠FDN=90°-∠NDE，∠C=90°-∠B，
∴∠FDN=∠C．
∴△AMC∽△FND．（10分）
點評：此題考查了相似三角形的判定：①有兩個對應角相等的三角形相似；
②有兩個對應邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；
③三組對應邊的比相等，則兩個三角形相似．