Question

如圖，已知：△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分BC，交 BC于D點，交AB于E點，F是DE上的一點，且FC=AE，連接BF．
（1）求證：四邊形BECF是菱形；
（2）當∠A等于多少度時，四邊形BECF是正方形？為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）易證DE∥AC，利用平行線分線段成比例定理可以證得E是直角△ABC的斜邊的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及線段的垂直平分線的性質即可證得四邊形BECF的四邊相等，從而命題得證；
（2）四邊形BECF是菱形，只要說明有一個角是直角即可，即∠CBA=45°，從而∠A是45°即可．
解答：（1）證明：∵EF⊥BC，AC⊥BC
∴DE∥AC
∵BD=DC，
∴，
∴BE=EA
∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，BF=CF
∵FC=AE，
∴BE=CE=BF=CF
∴四邊形BECF是菱形．

（2）解：當∠A=45°時，四邊形BECF是正方形．
∵∠ABC=90°-∠A=45°
又∵BC平分∠EBF
∴∠EBF=2∠ABC=90°
∴四邊形BECF是正方形．
點評：本題考查了菱形的判定以及正方形的判定，直角三角形的性質，線段的垂直平分線的性質，正確證明四邊形BECF是菱形是關鍵．