Question

【題目】如圖（1），點M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點，連接CN、DM．

（1）證明：①CN=DM；②CN⊥DM；

（2）設CN、DM的交點為H，連接BH，如圖（2），求證：△BCH是等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、證明過程見解析

【解析】

試題分析：(1)、利用正方形的性質可求證△ADM≌△DCN，所以CN=DM，∠ADM=∠DCN，∠ADM+∠CDM=∠DCN+∠CDM=90°，即可求證∠CHD=90°；(2)、連接CM，易證M、B、C、H四點共圓，所以∠BMC=∠BHC，證明△AMD≌△BCM，即可求證∠BHC=∠BCH

試題解析：(1)、由題意知：AD=CD， ∵M、N分別是AB和AD的中點， ∴AM=DN，

在△ADM與△DCN中，， ∴△ADM≌△DCN（SAS）， ∴DM=CN，∠ADM=∠DCN，

∴∠DCN+∠CDM=∠ADM+∠CDM=90°， ∴∠CHD=90°， ∴CN⊥DM；

(2)、連接CM， 由（1）可知：∠AMD=90°﹣∠ADM， ∠BCH=90°﹣∠DCN， ∴∠AMD=∠BCH，

∴M、B、C、H四點共圓， ∴∠BMC=∠BHC，

在△BCM與△ADM中，， ∴△BCM≌△ADM（SAS）， ∴∠BMC=∠AMD，

∴∠BHC=∠AMD=∠BCH， ∴△BCH是等腰三角形