Question

【題目】如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線y=+bx+c經過B點，且頂點在直線x=上．

（1）求拋物線對應的函數關系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；

（3）在（2）的前提下，若M點是CD所在直線下方該拋物線上的一個動點，過點M作MN平行于y軸交CD于點N．設點M的橫坐標為t，MN的長度為l．求l與t之間的函數關系式，并求l取最大值時，點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+4；（2）點C和點D在所求拋物線上；（3）點M的坐標為（，）．

【解析】

試題分析：（1）已知了拋物線上A、B點的坐標以及拋物線的對稱軸方程，可用待定系數法求出拋物線的解析式．

（2）首先求出AB的長，將A、B的坐標向右平移AB個單位，即可得出C、D的坐標，再代入拋物線的解析式中進行驗證即可．

（3）根據C、D的坐標，易求得直線CD的解析式；那么線段MN的長實際是直線BC與拋物線的函數值的差，可將x=t代入兩個函數的解析式中，得出的兩函數值的差即為l的表達式，由此可求出l、t的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出l取最大值時，點M的坐標．

解：（1）∵拋物線y=+bx+c的頂點在直線x=上，

∴可設所求拋物線對應的函數關系式為y=+m

∵點B（0，4）在此拋物線上，

∴4=×+m

∴m=﹣

∴所求函數關系式為：y=﹣=﹣x+4

（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，

∴AB==5

∵四邊形ABCD是菱形

∴BC=CD=DA=AB=5

∴C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0）；

當x=5時，y=×52﹣×5+4=4

當x=2時，y=×22﹣×2+4=0

∴點C和點D在所求拋物線上；

（3）設直線CD對應的函數關系式為y=kx+b′，

則；

解得：；

∴y=x﹣

∵MN∥y軸，M點的橫坐標為t，

∴N點的橫坐標也為t；

則yM=﹣t+4，yN=t﹣，

∴l=yN﹣yM=t﹣﹣（﹣t+4）=﹣+t﹣=﹣+

∵﹣＜0，

∴當t=時，l最大=，yM=﹣t+4=．

此時點M的坐標為（，）．