Question

（2010•高淳縣一模）已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．以AC上一點O為圓心的⊙O與BC相切于點C，與AC相交于點D．
（1）如圖1，若⊙O與AB相切于點E，求⊙O的半徑；
（2）如圖2，若⊙O在AB邊上截得的弦FG=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AB和圓相切，所以連接OE，利用相似即可求出OE．
（2）已知弦長，求半徑，要做弦的弦心距，構造直角三角形，利用勾股定理求出未知量．
解答：解：（1）連接OE，因為⊙O與AB相切于點E，所以OE⊥AB，
設OE=x，則CO=x，AO=4-x，
∵⊙O與AB相切于點E，
∴∠AEO=90°，
∵∠A=∠A，∠AEO=∠ACB=90°，
∴Rt△AOE∽Rt△ABC，
∴，
∴，
解得：x=，
∴⊙O的半徑為．
（2）過點O作OH⊥AB，垂足為點H，則H為FG的中點，FH=FG=，

連接OF，設OF=x，則OA=4-x，
由Rt△AOH∽Rt△ABC可得OH=，
在Rt△OHF中，據勾股定理得：OF²=FH²+OH²，
∴x²=（）²+（）²，
解得x₁=，x₂=（舍去），
∴⊙O的半徑為．
點評：本題綜合考查了切線的性質，相似三角形，解直角三角形等知識點的運用．是一道運用切線性質解題的典型題目，難度中等．