Question

一本書標(biāo)有2011頁(yè)，從第一頁(yè)開始每11頁(yè)就在最后一頁(yè)的頁(yè)面加注一個(gè)紅圈，直到末頁(yè)．然后從末頁(yè)開始向前，每21頁(yè)也在最前一頁(yè)加注一個(gè)紅圈，直到第一頁(yè)．問(wèn)一共有多少頁(yè)加注了兩個(gè)紅圈？并寫出它們的頁(yè)面號(hào)碼．

Answer 1

第一次從前往后加注紅圈時(shí)，設(shè)加注紅圈的頁(yè)碼為m，
則m=1+11k，k=1，2，3…，m≤2011．（1）
∴1+11k≤2011，∴1≤k≤182．
第二次從后往前加注紅圈時(shí)，由2011÷21=95…16，可知這時(shí)加紅圈的頁(yè)面號(hào)碼m就是從第16頁(yè)開始向后每隔20頁(yè)加注紅圈的頁(yè)面號(hào)碼，除了第16頁(yè)和最末一頁(yè)（第2011頁(yè)）是例外，于是第二次加注紅圈的頁(yè)面號(hào)碼是
m=16+21k′，k′=0，1，2，…，94．（2）
結(jié)合（1）（2），于是得到
m=1+11k=16+21k′，
∴k=1+2k′+

4-k′

11

，
∴m=16+21×4=100是兩個(gè)紅圈重合的頁(yè)面號(hào)碼之最小者，注意到11與21的最小公倍數(shù)[11，21]=231，
因此，兩個(gè)紅圈重合的頁(yè)面號(hào)碼是m=100+231n．
由m≤2011，得100+231n≤2011，0≤n≤8，
即n=0，1，2，3，4，5，6，7，8，
故一共有9頁(yè)加注了兩個(gè)紅圈，分別是第100頁(yè)，第331頁(yè)，第562頁(yè)，第793頁(yè)，第1024頁(yè)，第1255頁(yè)，第1486頁(yè)，第1717頁(yè)，第1948頁(yè)．