Question

當任意k個連續的正整數中都必有一個正整數，它的數字之和是11的倍數時，我們把其中每個連續k個正整數的片斷都叫做一條長度為k的“龍”，求最短的“龍”的長度．

Answer 1

分析：首先證k≤28時，題設的性質不成立，由當k=28時，對于1，2，3，4，…，28這28個連續整數，任意一個數的數字之和均不能被11整除，即可得k≤28時，題設的性質不成立；然后證k=29時，題設的性質成立，由于設a₁，a₂，…，a₂₉為任意的連續29個正整數，則這29個正整數中，個位數字為0的整數最多有三個，最少有兩個，所以分別從當a₁，a₂，…，a₂₉中個位數字為0的整數有三個、兩個，個位數字為0的整數時去分析即可求得答案．

解答：解：先證k≤28時，題設的性質不成立．
當k=18時，對于1，2，3，…，28這28個連續整數，任意一個數的數字之和均不能被11整除．
故k≤28時，題設的性質不成立．
因此，要使題設的性質成立，應有k≥29．
再證k=29時，題設的性質成立．
設a₁，a₂，…，a₂₉為任意的連續29個正整數，則這29個正整數中，個位數字為0的整數最多有三個，最少有兩個，可以分為：
（1）當a₁，a₂，…，a₂₉中個位數字為0的整數有三個時，
設a_i＜a_j＜a_m，且a_i、a_j、a_m的個位數字為0，則滿足a_i，a_i+1，…，a_i+9，a_j+1…a_m為連續的20個整數，其中a_i，a_i+1，…，a_i+9，a_m無進位．
設n_i表示a_i各位數字之和，則前20個數各位數字之和分別為n_i，n_i+1，…，n_i+11．
故這連續的20個數中至少有一個被11整除．
（2）當a₁，a₂，…，a₂₉中個位數字為0的整數有兩個時（記為a_i），
①若整數i滿足1≤i≤11時，則在a_i后面至少有18個連續整數，于是a_i，a_i+1，…，a_i+11這18個連續整數的個位數字之和也為11個連續整數，所以，必有一個數能被11整除．
②若整數i滿足12≤i≤29時，則在a_i前面至少有12個連續整數，不妨設a_i-12，a_i-11，…，a_i-1這12個連續整數的個位數字之和也為12個連續整數，所以，必有一個數能被11整除．
綜上，對于任意29個連續整數中，必有一個數，其各位數字之和是11的倍數．
而小于28個的任意連續整數不成立此性質．
∴k的最小值是29．

點評：此題考查了整數問題的綜合應用．此題難度較大，解題的關鍵是注意分類討論你思想的應用．