Question

將一幅三角板Rt△ABC和Rt△DEF按如圖1擺放，點E, A, D, B在一條直線上，且D是AB的中點，將Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉（0°＜＜90°）角，在旋轉過程中，直線DE與AC相交于點M，直線DF與BC相交于點N，分別過點M, N作直線AB的垂線，垂足分別為G, H.

（1）當=30°時（如圖2），求證：AG=DH;

（2）當=60°時（如圖3），（1）中的結論是否仍成立？請寫出你的結論，并說明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

見解析.

【解析】

試題分析：（1）由α=30°知∠ADM=30°，∠A=30°，所以∠ADM=∠A．AM=DM．又由MG⊥AD于G，可得:AG= AD．又有∠CDB=180°-∠EDF-∠ADM=60°，∠B=60°，證得△CDB是等邊三角形．又CH⊥DB于H，DH= DB．根據直角三角形中30°所對直角邊是斜邊的一半得:BC= AB．由BC=BD，所以有AD=DB．從而證得AG=DH．

（2）在△AMD與△DNB中，∠A=∠NDB=30°，AD=DB，∠MDA=∠B=60°，可得△AMD≌△DNB，所以AM=DN．在△AMG與△DNH中，∠A=∠NDB，∠MGA=∠NHD=90°，又可證得△AMG≌△DNH．

∴AG=DH．

試題解析：（1）∵α=30°，∴∠ADM=30°，

∵∠A=30°，∴∠ADM=∠A．

∴AM=DM．

又∵MG⊥AD于G，

∴AG= AD．

∵∠CDB=180°-∠EDF-∠ADM=60°，∠B=60°，

∴△CDB是等邊三角形．

又∵CH⊥DB于H，

∴DH= DB．

∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，

∴BC= AB．

∵BC=BD，∴AD=DB．

∴AG=DH．

（2）結論成立．理由如下：

在△AMD與△DNB中，∠A=∠NDB=30°，AD=DB，∠MDA=∠B=60°，

∴△AMD≌△DNB，

∴AM=DN．

又∵在△AMG與△DNH中，∠A=∠NDB，∠MGA=∠NHD=90°，

∴△AMG≌△DNH．

∴AG=DH ．

考點：1.等邊三角形的判定.2.直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半.3. 全等三角形判定和性質.