Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，C為圓外一點，AC交⊙O于點D，且BC²=CD•CA，

ED

=

BD

，BE交AC于F，
（1）求證：BC為⊙O切線．
（2）判斷△BCF形狀并證明．
（3）已知BC=15，CD=9，求tan∠ADE的值．

Answer 1

分析：（1）由BC²=CD•CA，根據三角形相似的判定得到△CBD∽△CAB，根據三角形相似的性質得到∠CBD=∠BAC，而AB為⊙O的直徑，根據圓周角定理的推論得∠ADB=90°，易證得∠ABD+∠CBD=90°，根據切線的判定即可得到答案；
（2）由

ED

=

BD

，根據圓周角定理得∠DAE=∠BAC，由（1）得∠BAC=∠CBD，則∠CBD=∠DAE，根據同弧所對的圓周角相等得∠DAE=∠DBF，所以∠DBF=∠CBD，而∠BDF=90°，根據等腰三角形三線的判定即可得到△BCF為等腰三角形；
（3）由BC²=CD•CA，BC=15，CD=9，可計算出CA=25，根據等腰三角形的性質有BF=BC=15，DF=DC=9，利用勾股定理計算出BD=12，得到AF=7，再根據等積可求出AE=

7×12

15

=

28

5

，然后利用Rt△AEF∽Rt△BDF，通過相似比可計算出EF，則可得到BE，而∠ADE=∠ABE，最后利用三角函數的性質可計算出tan∠ADE的值．

解答：（1）證明：∵BC²=CD•CA，即BC：CA=CD：BC，
而∠C公共，
∴△CBD∽△CAB，
∴∠CBD=∠BAC，
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°，即AB⊥BC，
∴BC為⊙O切線；

（2）△BCF為等腰三角形．證明如下：
∵

ED

=

BD

，
∴∠DAE=∠BAC，
而△CBD∽△CAB，
∴∠BAC=∠CBD，
∴∠CBD=∠DAE，
而∠DAE=∠DBF，
∴∠DBF=∠CBD，
而∠BDF=90°，
∴△BCF為等腰三角形；

（3）解：∵BC²=CD•CA，BC=15，CD=9，
∴CA=25，BF=BC=15，DF=DC=9，
∴BD=

152-92

=12，
∴AF=25-18=7，
∴S_△ABF=

1

2

•AE•BF=

1

2

•AF•BD，
∴AE=

7×12

15

=

28

5

，
易證Rt△AEF∽Rt△BDF，
∴EF：DF=AF：BF，即EF：9=7：15，
∴EF=

21

5

，
∴BE=15+

21

5

=

96

5

，
∵∠ADE=∠ABE，
∴tan∠ADE=tan∠ABE=

28 5

96 5

=

7

24

．

點評：本題考查了切線的判定與性質：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理及其推論以及三角形相似的判定與性質．